Главная / Учебная работа / Вычислительная математика

Вычислительная математика

Вычислительная математика изучается студентами на 3-м семестре (2-й курс) бакалаврской подготовки. Курс вычислительной математики является логическим продолжением курсов математики и информатики. В курсе рассматриваются математические постановки одномерных задач, описываемых дифференциальными уравнениями, и численные методы их решения. Основное внимание уделяется грамотной постановке, выбору метода решения задачи, умению выполнить расчеты на ЭВМ с использованием современных программных комплексов и проанализировать полученные результаты.

Цель изучения студентами данного курса состоит в приобретении ими следующих знаний и умений:

  1. Выработка представлений о математических постановках инженерных задач, описываемых дифференциальными уравнениями.
  2. Умение сформулировать математическую постановку простой одномерной задачи.
  3. Знание основных численных методов решения дифференциальных уравнений.
  4. Выработка первоначальных навыков, связанных с использованием сеточных методов в инженерной практике.
  5. Выработка навыков работы с современными программными комплексами, позволяющими решать задачи, описываемые дифференциальными уравненями.
  6. Умение оценить достоверность и точность получаемых на ЭВМ результатов.
  7. Средствами достижения цели являются все виды занятий и контроля, отмеченные в программе.

Знания и умения, приобретенные студентами при изучении курса будут использоваться в курсах сопротивления материалов, гидравлики, теории упругости, динамики сооружений, строительных конструкций, механики грунтов, оснований и фундаментов, экологии, специальных курсах и др.

ПРОГРАММА КУРСА

1. Математические постановки типовых инженерных задач, описываемых дифференциальными уравнениями, и их классификация.

Примеры типовых одномерных задач, описываемых дифференциальными уравнениями. Виды граничных и начальных условий. Понятие о краевых (граничных) задачах и задачах Коши (задачах с начальными условиями).

2. Численные методы решения задачи Коши.

Основы шаговых (сеточных) методов. Методы Эйлера и Рунге-Кутта, погрешности методов, порядок сходимости. Применение этих методов для решения систем дифференциальных уравнений на примере задачи Лотки-Вольтерра (модедь "хищник-жертва"). Устойчивость решения дифференциального уравнения. Неявная схема метода Эйлера. Решение дифференциальных уравнений высокого порядка. Использование MathCAD для численного решения задачи Коши.

3. Численное решение краевых задач.

Метод конечных разностей (метод сеток, МКР). Специфика удовлетворения граничным условиям разного типа. Решение одномерной краевой задачи с главными граничными условиями и с главным и естественным граничными условиями. Вариационная постановка задачи. Решение краевой задачи методом Ритца и методом конечных элементов. Решение двумерной краевой задачи методом конечных разностей (на примере задачи о распределении температур в пластине).

4. Уточнение приближенных решений.

Правило Рунге, метод Эйткена, метод Шварцмана.

Рекомендуемая литература

Основная:

  1. Колосова Г.С. Решение одномерных задач строительной механики численными методами. СПбГТУ, 1993.
  2. Лалин В.В., Колосова Г.С. Решение одномерных краевых задач методом конечных элементов. СПбГТУ, 2001.
  3. Турчак Л.И. Основы численных методов. М., 1987, 318 с.

    Дополнительная:

  4. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. Москва, "Науа", 1987.
  5. В.И.Ракитин, В.Е.Первушин. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. Москва, "Высшая школа", 1998.